\chapter{1650年,门戈利问题}
	
	\begin{abstract}
		本文详细追溯了意大利数学家彼得罗·门戈利(Pietro Mengoli，1626–1686)在1650年提出的著名级数问题——调和平方级数求和问题：求$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的精确值，并系统阐述了莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1734年给出的开创性解法。通过对欧拉原始推导的逐步剖析，展示了如何将无穷级数与多项式理论类比，最终得到$\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$这一优美结果。文章特别强调了欧拉方法中蕴含的深刻数学思想及其对后世分析学发展的影响。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	17世纪中叶，意大利博洛尼亚数学家彼得罗·门戈利在研究调和级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$的发散性质时，自然转向考察其平方倒数形式$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性问题。门戈利成功证明了该级数收敛，但未能求出其精确和。此问题随后吸引了包括雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)在内的多位数学家关注，成为当时分析学领域的著名难题。
	
	\section{门戈利的原始工作}
	在1650年的著作《Novae quadraturae arithmeticae》中，门戈利建立了以下关键结果：
	
	\begin{theorem}[门戈利不等式]
		对于任意整数$n \geq 2$，有：
		\begin{equation}
			\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n+1} > \frac{2}{n}
		\end{equation}
		由此可推出调和级数发散。
	\end{theorem}
	
	门戈利进一步考察了平方倒数级数的收敛性：
	
	\begin{theorem}
		级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$收敛，且其和小于2。
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		通过将级数项分组比较：
		\begin{align*}
			\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &= 1 + \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}\right) + \left(\frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{7^2}\right) + \cdots \\
			&< 1 + \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{4^2}\right) + \cdots \\
			&= 1 + \frac{2}{4} + \frac{4}{16} + \frac{8}{64} + \cdots = 2
		\end{align*}
	\end{proof}
